Родился 16 июня 1922 года во Владикавказе в семье служащего. Окончил 2 курса Орджоникидзевского электромеханического техникума (ныне колледж электронных приборов) и курс обучения в Орджоникидзевском аэроклубе с отличием. В Военно-Морском Флоте – с 1939 года. В июне 1941 года окончил Ейское военно-морское авиационное училище и для прохождения дальнейшей службы был направлен в авиационную часть Военно-Воздушных сил Тихоокеанского флота. Проходил службу пилотом самолета ДБ-3 в 4-м минно-торпедном авиационном полку.

Весной 1944 года в составе вновь сформированного 51-го минно-торпедного авиационного полка прибыл на Балтийский флот. Быстро освоил американские самолеты А-20 «Бостон» и стал участвовать в боевых вылетах.

Летом 1944 года экипаж А.М. Гагиева был переведен в 1-й гвардейский минно-торпедный авиационный полк, с которым прошел до дня Победы.

Молодой летчик-тихоокеанец, командир звена  гвардии лейтенант Гагиев активно включился в боевую работу гвардейского полка. Боевое мастерство и счет потопленных экипажем Гагиева вражеских кораблей росли от вылета к вылету.

5 июля 1944 года он потопил свой первый транспорт водоизмещением 2000 тонн.

24 августа 1944 года в результате торпедного удара нанес тяжелые повреждения транспорту противника водоизмещением  8000 тонн.

27 августа 1944 года, находясь в крейсерском полете, обнаружил караван судов противника в составе одного транспорта, трех подводных лодок, двух сторожевых катеров и одного сторожевого корабля. При подходе советского самолета к цели фашисты открыли   сильный  заградительный   зенитный огонь, но   это   не    сломило воли летчика. Александр Гагиев прорвался сквозь завесу огня и точным  торпедным ударом потопил подводную лодку противника.

12 сентября 1944 года стремительной атакой и точным торпедным ударом потопил вражеский транспорт водоизмещением 8000 тонн.

6 октября 1944 года после непродолжительного поиска в Балтийском море точно сброшенной торпедой потопил транспорт противника водоизмещением 7000 тонн.

К октябрю 1944 года гвардии лейтенант А.М. Гагиев совершил 28 боевых вылетов, в которых потопил 4 транспорта водоизмещением 18500 тонн, одну подводную лодку  и повредил другой транспорт противника водоизмещением 800 тонн.

6 марта 1945 года Указом Президиума Верховного Совета СССР за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками гвардии лейтенанту Гагиеву Александру Максимовичу присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».

Вот что писал позже сослуживец героя: «…Главной ударной силой были четыре «Бостона». На первом из них – летчик А. Гагиев, штурман Р. Демидов, воздушные стрелки. Над караваном появились внезапно – со стороны солнца, на большой скорости и на низкой высоте. За 100-200 метров до цели сбрасывали бомбы. За счет рикошета от водной поверхности они попадали в корабль или взрывались у его борта. Так балтийские летчики потопили тогда два крупных транспорта и несколько сторожевых кораблей и катеров. Десантная высадка врага была сорвана. Все самолеты вернулись на базы, правда, с пробоинами в крыльях и фюзеляжах. 

За два последних года Великой Отечественной войны храбрые летчики  1-го гвардейского минно-торпедного полка пустили ко дну более 20 немецких транспортов и боевых кораблей. В том числе экипажу А. Гагиева – Р. Демидова удалось уничтожить 6 судов общим водоизмещением 27 500 тонн, несколько транспортов, кораблей и катеров повреждено, выведено из строя. Экипаж этого самолета совершил 106 боевых вылетов. Во время вылетов нанесено 60 точных ударов торпедами. Это означало, что вражеским кораблям с их огневой мощью и десантом не удалось дойти до наших берегов, были сохранены жизни тысяч воинов и мирных жителей. Оба отважных авиатора Александр Гагиев и Ростислав Демидов стали Героями Советского Союза». 

В наградном листе А.М. Гагиева было сказано: «Вместе с напряженной и эффективной боевой деятельностью Гагиев проводит большую воспитательную работу с летным составом своего звена. Личным примером воспитывает у подчиненных мужество и отвагу, способность пойти на самопожертвование во имя окончательного разгрома врага».

После исторической победы над фашистской Германией Александр Максимович продолжал верно служить Родине в морской авиации.

В 1953 году окончил Военно-Морскую академию в Ленинграде.

С 1975 года полковник Гагиев – в запасе. Жил  в Ленинграде, затем в Москве. Работал старшим инженером в одном из научно-исследовательских институтов.

Награжден медалью «Золотая Звезда», орденом Ленина, тремя орденами Красного Знамени, орденами Отечественной войны 1 степени, Красной Звезды, «За службу Родине в Вооруженных Силах СССР Ш степени, медалями.

Ушел из жизни 30 сентября 1981 года.