Родился 27 октября 1912 года в селении Христиановское (ныне город Дигора) Северной Осетии в семье крестьянина.

         В Красную Армию призван в октябре 1942 года,  направлен на фронт в пехотную часть под Москву. Боевое крещение принял на Западном фронте, где был ранен и направлен в госпиталь.

         После излечения в апреле 1943 года вернулся на фронт. В должности заряжающего орудия самоходно-артиллерийской установки СУ-85 Кибизов воевал в 1454-м самоходно-артиллерийском полку 6-го танкового корпуса Центрального фронта. Участвовал в Курской битве.

         Из представления  Кибизова А. Н  к правительственной награде: «Красноармеец А.Н.Кибизов— замковый 3-й батареи, действуя в составе экипажа, показал себя смелым, хладнокровным, бесстрашным в бою воином. Во время боя 17 июля в районе ст. Малоархангельск Кибизов уничтожил два немецких танка и два противотанковых орудия».  За мужество и храбрость, проявленные в Курской битве А.Н.Кибизов был награждён орденом Отечественной войны II степени.

         4 ноября 1943 года 1454-й полк в составе 9-го механизированного корпуса 1-го Украинского фронта вёл бой на окраине Киева в районе Пуща-Водица. В этом бою особо отличился взвод лейтенанта П.И.Фомичёва, в состав которого входила САУ красноармейца А.Н.Кибизова. Получив боевую задачу уничтожить отходящие немецкие войска, взвод успешно с ней справился— артиллеристы на большой скорости настигли автомобильную колонну противника на лесной дороге и разгромили её.

         Из представления к ордену Отечественной войны I степени: «Показал себя храбрым, решительным, преданным своему делу бойцом. Чётко и быстро выполнял команды, чем способствовал уничтожению двух немецких танков Т-6 (Тигр) 11 ноября 1943 года  в районе станции Попельня».

         В 1944 году в должности командира орудия СУ-85 сержант А.Н.Кибизов принимал участие в боях за освобождение городов Бердичев, Проскуров, Яворов, Перемышль, в форсировании рек Западный Буг и Висла. 19 июля 1944 года при расширении плацдарма на левом берегу реки Западный Буг в районе деревни Мадзярки уничтожил немецкий танк «Пантера», который  сдерживал  продвижение наших стрелковых подразделений. Кибизов  зашел   незаметно   через камышовые заросли  на своей  самоходке  и первым же выстрелом разворотил  башню танка, за что был награждён орденом Красной Звезды.

В марте 1945 года А.Н.Кибизов участвовал в Восточно-Померанской наступательной операции, в том числе, во взятии городов Нёренберг, Лобез, Кольберг, Путциг и Гдыня.

16-17 апреля 1945 года в боях в районе города Зеелов (Германия) в должности командира самоходно-артиллерийской установки СУ-100 1454-го самоходно-артиллерийского полка 11-го гвардейского танкового корпуса               1-й гвардейской танковой армии старший сержант А.Н.Кибизов действовал в передовом отряде полка. Экипаж А.Н.Кибизова уничтожил 5 танков, 1 дот,              3 противотанковых орудия и до 60 солдат противника,  подавил огонь 6 тяжёлых пулеметов.

 22 апреля 1945 года самоходная  артиллерийская  установка А.Н.Кибизова одной из первых ворвалась в Берлин. В боях в районе севернее населённого пункта Карлсхорст (ныне в черте Берлина) своим огнём она прикрывала переправу стрелковых подразделений через реку Шпрее. Во время штурма А.Н.Кибизов был тяжело ранен.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 31 мая 1945 года за мужество и героизм, проявленные в наступательных боях от Вислы до Одера, и нанесение противнику большого урона в живой силе, старшему сержанту А.Н.Кибизову присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№6717).

За три года войны расчёт А.Н.Кибизова уничтожил 24 немецких танка, 62 автомашины и бронетранспортёра, 28 артиллерийских орудий и миномётов, десятки блиндажей и дзотов противника, 37 пулемётов, а также более четырёхсот вражеских солдат и офицеров.

29 марта 2001 года Александр Николаевич ушел из жизни. Похоронен во Владикавказе на Аллее Славы.