Родился 22 декабря 1916 года в селении Дзуарикау Орджоникидзевского района Северо-Осетинской АССР, в семье известного осетинского драматурга Елбасдуко Бритаева, основоположника осетинской драматургии.

С 14 лет Хаджи-Мурат работал откатчиком на Садонских рудниках, а затем – электромонтером на заводе «Кавцинк». Одновременно учился на вечернем рабфаке при институте цветных металлов. Закончив в 1933 году учёбу, поступил в Московский институт инженеров железнодорожного транспорта, в 1938 году, перевёлся в Ленинградскую военно-транспортную академию, по окончанию которой, в 1940 году был направлен на службу начальником Управления передвижения войск на Кишиневской железной дороге.
Великая Отечественная война застала его на западных рубежах нашей Родины, участвовал в героической обороне Одессы, где более 70 дней войска отдельной Приморской армии сдерживали натиск гитлеровцев. Будучи начальником службы заграждения и разминирования, затем начальником отделения разведки Управления гвардейской железнодорожной бригады, X.Е. Бритаев показал себя волевым, мужественным командиром.
В последующие годы он с честью и отвагой выполнял сложные задачи, возложенные на него командованием.
30 сентября 1943 года при разминировании моста через реку Самбек у города Таганрога Бритаев был тяжело ранен. Семь месяцев Хаджи-Мурат Элбасдукоевич находился на излечении в эвакогоспитале. Эти дни, казавшиеся ему вечностью, он жил жизнью своих боевых друзей, которые за то время изгнали немецко-фашистских захватчиков из пределов Северного Кавказа, форсировали Керченский пролив, овладели рубежами рек Миус и Молочная, освободили южные районы Донбасса.
30 марта 1944 года Бритаев получил разрешение покинуть госпиталь, и он опять на боевом посту: в составе Южного, а затем 4-го Украинского фронтов участвует в освобождении Крыма и Закарпатской Украины в должности начальника службы управления, затем начальника отделения технической разведки гвардейской железнодорожной бригады и боевой подготовки по технической разведке.
В октябре 1944 года Бритаев в составе 1-го Белорусского фронта участвует в освобождении столицы Польши – Варшавы и всей территории от Вислы до Одера. В апреле 1945 года одним из первых во главе гвардейцев-разведчиков Х. Бритаев вошел в Берлин.
В послевоенные годы генерал X. Бритаев настойчиво трудится над повышением боевой готовности Вооруженных Сил СССР. Все свои знания, богатый практический опыт щедро передает молодым офицерам. Строгую требовательность к себе и подчиненным он умело сочетает с постоянной заботой о солдатах и офицерах.
С июня 1956 года Х. Бритаев – начальник штаба гвардейской железнодорожной бригады. Участвовал в подавлении контрреволюционного мятежа в Венгерской Народной Республике.
С февраля 1958 года – заместитель начальника штаба железнодорожного корпуса.
В 1966 году Бритаеву Х.Е. присвоено звание генерал-майора технических войск.
С октября 1973 года – начальник центральных офицерских курсов железнодорожных войск.
В 1976 году Х.Е. Бритаев ушел в запас. Жил в Санкт-Петербурге
Награды: ордена Трудового Красного Знамени, Отечественной войны I степени и II степени, два ордена Красной Звезды, медаль «Во славу Осетии» и другие медали.
13 февраля 2000 года Хаджи-Мурат Бритаев ушел из жизни.
Похоронен во Владикавказе на Аллее Славы.